复分析入门：复变函数的解析性

复分析研究复平面上的函数，是数学中最优美的分支之一。

解析函数

函数 $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 在点 $z_0$ 解析，若其在该点可微。

柯西-黎曼方程

设 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，则 $f$ 解析当且仅当：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

柯西积分定理

设 $f$ 在单连通域 $D$ 内解析，$\gamma$ 为 $D$ 内闭曲线，则：

$$\oint_\gamma f(z) dz = 0$$

留数定理

用于计算复积分和实积分，在物理学中应用广泛。

示例

计算 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$…

复分析为量子力学、流体力学等提供了强大工具。