数学猜想：从费马到黎曼

引言

数学猜想是推动数学发展的重要动力。一个好的猜想往往能够揭示数学结构的深层联系，激发几代数学家的探索热情。本文将介绍几个著名的数学猜想，探讨它们的历史背景、数学意义和当前状态。

1. 费马大定理

1.1 问题陈述

费马大定理（Fermat’s Last Theorem）：对于任意整数 $n > 2$ ，方程

$x^n + y^n = z^n$

没有正整数解。

费马在 1637 年左右在《算术》一书的页边写下了这个猜想，并声称他有一个"绝妙的证明"，但页边太窄写不下。

1.2 历史进程

年份	数学家	贡献
1753	欧拉	证明 $n=3$ 的情形
1825	迪利克雷、勒让德	证明 $n=5$ 的情形
1839	拉梅	证明 $n=7$ 的情形
1850	库默尔	引入理想数，证明所有正则素数情形
1995	怀尔斯	完成完整证明

1.3 怀尔斯的证明

安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）的证明基于以下深刻联系：

谷山-志村猜想：每个定义在 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线都是模形式。

证明路径：

若费马大定理有解 $(a, b, c)$ ，则可构造椭圆曲线 $E: y^2 = x(x-a^n)(x+b^n)$
弗雷证明这个曲线不是模形式（弗雷曲线）
怀尔斯证明所有半稳定椭圆曲线都是模形式
矛盾！费马大定理成立

2. 黎曼假设

2.1 黎曼 zeta 函数

定义：对于 $\Re(s) > 1$ ，黎曼 zeta 函数定义为：

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ 素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}}$

右侧的欧拉乘积公式揭示了 $\zeta(s)$ 与素数的深刻联系。

2.2 猜想陈述

黎曼假设（Riemann Hypothesis）： $\zeta(s)$ 的所有非平凡零点的实部都等于 $\frac{1}{2}$ 。

即所有非平凡零点都位于临界线 $\Re(s) = \frac{1}{2}$ 上。

2.3 与素数分布的联系

素数计数函数 $\pi(x)$ 与 $\zeta(s)$ 零点的关系：

$\pi(x) = \text{Li}(x) - \sum_{\rho} \text{Li}(x^\rho) + \text{小阶项}$

其中 $\rho$ 遍历 $\zeta(s)$ 的所有非平凡零点。

如果黎曼假设成立，则：

$\pi(x) = \text{Li}(x) + O(\sqrt{x} \log x)$

这给出了素数分布的最佳误差估计。

2.4 已知结果

已验证前 $10^{13}$ 个零点都在临界线上
Hardy (1914)：临界线上有无穷多个零点
Selberg (1942)：至少 $40\%$ 的零点在临界线上
Conrey (1989)：至少 $40\%$ 的零点在临界线上（改进估计）

3. 哥德巴赫猜想

3.1 问题陈述

强哥德巴赫猜想：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数之和。

例如： $4 = 2+2$ ， $6 = 3+3$ ， $8 = 3+5$ ， $10 = 5+5 = 3+7$

弱哥德巴赫猜想：每个大于 5 的奇数都可以表示为三个素数之和。

3.2 进展

陈氏定理 (1966)：每个充分大的偶数都可以表示为一个素数与一个半素数（最多两个素因子的数）之和
弱猜想已解决 (2013)：哈罗德·赫尔夫戈特完整证明了弱哥德巴赫猜想

3.3 数值验证

强猜想已验证到 $4 \times 10^{18}$ ，未发现反例。

4. 孪生素数猜想

4.1 问题陈述

孪生素数猜想：存在无穷多对孪生素数 $(p, p+2)$ 。

孪生素数例子： $(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), \ldots$

4.2 重大突破

张益唐 (2013)：存在无穷多对素数 $(p, q)$ ，满足 $q - p < 7 \times 10^7$ 。

这是第一次证明存在有界间隔的无穷多对素数！

Polymath 项目：将上界降到 246。

Maynard-Tao (2014)：将间隔上界降到 600（独立证明）。

目前最佳结果：如果广义黎曼假设成立，上界可降到 6。

5. P vs NP 问题

5.1 复杂性类

P：多项式时间内可解决的问题
NP：多项式时间内可验证解的问题
NP-完全：NP 中最难的问题

5.2 问题陈述

$\textbf{P} = \textbf{NP} \text{ ?}$

这个问题问的是：如果一个问题的解可以快速验证，它是否也可以快速找到？

5.3 意义

如果 $P = NP$ ：

所有 NP 问题都有高效算法
密码学的基础将被动摇
许多优化问题将变得"容易"

主流猜测： $P \neq NP$

6. BSD 猜想

6.1 椭圆曲线

椭圆曲线 $E$ 定义为：

$E: y^2 = x^3 + ax + b$

其有理点构成一个有限生成的阿贝尔群：

$E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}^r \oplus E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}$

其中 $r$ 称为秩（rank）。

6.2 L-函数

椭圆曲线的 L-函数 $L(E, s)$ 在 $s = 1$ 处的性质与曲线的算术性质密切相关。

6.3 猜想陈述

BSD 猜想：

$r = \text{ord}_{s=1} L(E, s)$ （秩等于 L-函数在 $s=1$ 处的零点阶数）
存在精确的公式计算首项系数，涉及 Tate-Shafarevich 群

7. 七个千禧年问题

克雷数学研究所在 2000 年提出七个千禧年问题，每个奖金 100 万美元：

问题	状态
P vs NP	未解决
霍奇猜想	未解决
庞加莱猜想	✅ 已解决 (佩雷尔曼, 2003)
黎曼假设	未解决
杨-米尔斯存在性与质量间隙	未解决
纳维-斯托克斯方程	未解决
BSD 猜想	未解决