引言

几何代数（Geometric Algebra，GA）是一种统一的数学语言，能够优雅地处理向量、旋转、投影等几何对象。它由 William Clifford 在 19 世纪提出，结合了格拉斯曼的外代数和哈密顿的四元数思想。

1. 从向量到几何代数

1.1 传统向量代数的局限

传统向量代数有两种乘法：

  • 点积：a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡θ\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta（标量）
  • 叉积：a×b\mathbf{a} \times \mathbf{b}（仅在 3D 有定义，是伪向量）

问题：

  1. 叉积不能推广到任意维度
  2. 无法统一处理不同类型的几何对象
  3. 旋转表示不够自然

1.2 几何积的引入

几何积（Geometric Product）定义为：

ab=a⋅b+a∧b\mathbf{a}\mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}

其中：

  • a⋅b\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}：内积（对称）
  • a∧b\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}：外积（反对称）

几何积的关键性质：

ab+ba=2(a⋅b)\mathbf{a}\mathbf{b} + \mathbf{b}\mathbf{a} = 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})

ab−ba=2(a∧b)\mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{b}\mathbf{a} = 2(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})

2. Clifford 代数的构造

2.1 定义

给定向量空间 VV 和二次型 QQ，Clifford 代数 Cl(V,Q)\text{Cl}(V, Q) 是满足以下条件的结合代数：

v2=Q(v)⋅1\mathbf{v}^2 = Q(\mathbf{v}) \cdot 1

对于正定内积空间，ei2=1\mathbf{e}_i^2 = 1（单位向量的平方为 1）。

2.2 基本示例

Cl(R2)\text{Cl}(\mathbb{R}^2) 的基：{1,e1,e2,e1e2}\{1, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\}

其中 e1e2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 是双向量（bivector），代表平面的有向面积。

Cl(R3)\text{Cl}(\mathbb{R}^3) 的基：

{1,e1,e2,e3,e1e2,e2e3,e3e1,e1e2e3}\{1, \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3, \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2, \mathbf{e}_2\mathbf{e}_3, \mathbf{e}_3\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3\}

共 23=82^3 = 8 个基元素。

2.3 多重向量

多重向量（Multivector）是几何代数中的一般元素：

M=⟨M⟩0+⟨M⟩1+⟨M⟩2+⋯M = \langle M \rangle_0 + \langle M \rangle_1 + \langle M \rangle_2 + \cdots

其中 ⟨M⟩k\langle M \rangle_k 是 kk-向量分量（kk-vector）：

  • 0-向量：标量
  • 1-向量：向量
  • 2-向量：双向量（有向面积）
  • 3-向量：三向量（有向体积）

3. 基本运算

3.1 外积

外积产生更高阶的多重向量：

a∧b=ab−a⋅b\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \mathbf{a}\mathbf{b} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}

性质：

  • 反交换：a∧b=−b∧a\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = -\mathbf{b} \wedge \mathbf{a}
  • a∧a=0\mathbf{a} \wedge \mathbf{a} = 0
  • 结合律：(a∧b)∧c=a∧(b∧c)(\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c})

3.2 内积

内积降低阶数：

对于向量 a\mathbf{a} 和双向量 BB：

a⋅B=12(aB−Ba)\mathbf{a} \cdot B = \frac{1}{2}(\mathbf{a}B - B\mathbf{a})

结果是一个向量。

3.3 对偶

在 nn 维空间中，伪标量 I=e1e2⋯enI = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\cdots\mathbf{e}_n。

对偶：A∗=AI−1A^* = AI^{-1}

在 3D 中，向量的对偶是双向量，反之亦然。这解释了为什么叉积"看起来像"向量。

4. 反射与旋转

4.1 反射

向量 v\mathbf{v} 关于单位向量 n\mathbf{n} 的反射：

v′=−nvn\mathbf{v}' = -\mathbf{n}\mathbf{v}\mathbf{n}

这个公式直接利用了几何积！

推导：

−nvn=−n(v∥+v⊥)n=v⊥−v∥-\mathbf{n}\mathbf{v}\mathbf{n} = -\mathbf{n}(\mathbf{v}_\parallel + \mathbf{v}_\perp)\mathbf{n} = \mathbf{v}_\perp - \mathbf{v}_\parallel

4.2 旋转

两次反射等于一次旋转。设 m,n\mathbf{m}, \mathbf{n} 是两个单位向量，夹角为 θ/2\theta/2：

v′=mnvnm=RvR~\mathbf{v}' = \mathbf{m}\mathbf{n}\mathbf{v}\mathbf{n}\mathbf{m} = R\mathbf{v}\tilde{R}

其中 R=mnR = \mathbf{m}\mathbf{n} 是旋转子（rotor），R~=nm\tilde{R} = \mathbf{n}\mathbf{m} 是其逆。

4.3 旋转子

2D 旋转子：

R=cos⁡θ2+e1e2sin⁡θ2R = \cos\frac{\theta}{2} + \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2\sin\frac{\theta}{2}

3D 绕轴 u\mathbf{u}（单位向量）旋转角度 θ\theta：

R=cos⁡θ2+Iusin⁡θ2R = \cos\frac{\theta}{2} + I_{\mathbf{u}}\sin\frac{\theta}{2}

其中 Iu=uII_\mathbf{u} = \mathbf{u}I 是旋转平面的双向量。

优点：

  • 避免了万向锁（gimbal lock）
  • 计算效率高
  • 自然推广到任意维度

5. 与其他代数的关系

5.1 复数

Cl(R2)\text{Cl}(\mathbb{R}^2) 的偶子代数（even subalgebra）同构于复数：

z=a+be1e2↔a+biz = a + b\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 \leftrightarrow a + bi

其中 (e1e2)2=−1(\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2)^2 = -1。

5.2 四元数

Cl(R3)\text{Cl}(\mathbb{R}^3) 的偶子代数同构于四元数：

i=e2e3,j=e3e1,k=e1e2\mathbf{i} = \mathbf{e}_2\mathbf{e}_3, \quad \mathbf{j} = \mathbf{e}_3\mathbf{e}_1, \quad \mathbf{k} = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2

满足 i2=j2=k2=ijk=−1\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{ijk} = -1。

5.3 泡利矩阵

Cl(R3)\text{Cl}(\mathbb{R}^3) 与泡利矩阵构成的代数同构：

e1↔σ1,e2↔σ2,e3↔σ3\mathbf{e}_1 \leftrightarrow \sigma_1, \quad \mathbf{e}_2 \leftrightarrow \sigma_2, \quad \mathbf{e}_3 \leftrightarrow \sigma_3

6. 物理应用

6.1 电磁场

Maxwell 方程可以用几何代数简洁表示。定义电磁场二形式：

F=E+IcBF = \mathbf{E} + Ic\mathbf{B}

Maxwell 方程变为：

∇F=ρϵ0−μ0J\nabla F = \frac{\rho}{\epsilon_0} - \mu_0 \mathbf{J}

仅需一个方程！

6.2 狭义相对论

时空代数 Cl(1,3)\text{Cl}(1,3) 自然包含 Lorentz 变换。

度规：γ02=1,γi2=−1 (i=1,2,3)\gamma_0^2 = 1, \quad \gamma_i^2 = -1 \, (i=1,2,3)

时空间隔：s2=(ct)2−x2−y2−z2s^2 = (ct)^2 - x^2 - y^2 - z^2

Lorentz boost：x′=RxR†x' = RxR^\dagger

6.3 量子力学

Dirac 方程可以用时空代数写成：

∇ψIσ3−eAψ=mψγ0\nabla \psi I \sigma_3 - eA\psi = m\psi \gamma_0

旋量 ψ\psi 是时空代数中的偶元素。

7. 计算示例

7.1 投影与拒斥

向量 v\mathbf{v} 在 u\mathbf{u} 上的投影：

v∥=(v⋅u)u−1=v⋅uu2u\mathbf{v}_\parallel = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{u})\mathbf{u}^{-1} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}^2}\mathbf{u}

拒斥（垂直分量）：

v⊥=(v∧u)u−1\mathbf{v}_\perp = (\mathbf{v} \wedge \mathbf{u})\mathbf{u}^{-1}

7.2 面积与体积

平行四边形面积：∣A∣=∣a∧b∣|A| = |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}|

平行六面体体积：∣V∣=∣a∧b∧c∣|V| = |\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}|

7.3 复合旋转

旋转的复合就是旋转子的乘积：

Rtotal=R2R1R_{\text{total}} = R_2 R_1

先 R1R_1 后 R2R_2。这比旋转矩阵更高效！

代码实现

Python 中可以使用 clifford 库：

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from clifford import Cl

# 创建 3D 几何代数
layout, blades = Cl(3)
e1, e2, e3 = blades['e1'], blades['e2'], blades['e3']

# 几何积
a = 2*e1 + 3*e2
b = e1 - e3
print(a*b)  # 几何积

# 外积
print(a ^ b)

# 旋转子：绕 e3 轴旋转 90 度
import numpy as np
theta = np.pi / 2
R = np.cos(theta/2) + (e1^e2) * np.sin(theta/2)
v = e1
v_rotated = R * v * ~R  # ~R 是 R 的逆
print(v_rotated)  # 应该接近 e2

总结

几何代数提供了统一优雅的几何语言：

  1. 几何积：统一了点积和外积
  2. 多重向量：自然表示各阶几何对象
  3. 旋转子：比矩阵和四元数更直观高效
  4. 维度无关：公式自然推广到任意维度
  5. 物理统一：电磁学、相对论、量子力学的自然语言

参考资料

  • Hestenes, D. & Sobczyk, G. Clifford Algebra to Geometric Calculus, 1984
  • Doran, C. & Lasenby, A. Geometric Algebra for Physicists, 2003
  • Dorst, L. et al. Geometric Algebra for Computer Science, 2007
  • Bivector.net - 几何代数资源