实分析中的勒贝格测度理论

勒贝格测度是现代分析学的基石，为积分理论提供了坚实的基础。本文将系统介绍测度论的核心概念。

1. 测度的基本概念

1.1 σ-代数

设 $X$ 为非空集合，$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$ 称为 σ-代数，若满足：

1. $X \in \mathcal{F}$
2. 补封闭：若 $A \in \mathcal{F}$，则 $A^c \in \mathcal{F}$
3. 可数并封闭：若 $\{A_n\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathcal{F}$，则 $\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{F}$

$(X, \mathcal{F})$ 称为可测空间。

1.2 测度的定义

设 $(X, \mathcal{F})$ 为可测空间，函数 $\mu: \mathcal{F} \to [0, \infty]$ 称为测度，若满足：

1. 非负性：$\mu(A) \geq 0$，$\forall A \in \mathcal{F}$
2. 空集测度为零：$\mu(\emptyset) = 0$
3. 可数可加性：若 $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ 两两不相交，则

$$\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$$

三元组 $(X, \mathcal{F}, \mu)$ 称为测度空间。

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2. 勒贝格测度的构造

2.1 外测度方法

外测度定义：对于 $E \subseteq \mathbb{R}$，定义

$$\mu^*(E) = \inf \left\{ \sum_{n=1}^\infty \ell(I_n) : E \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty I_n, \, I_n \text{ 为开区间} \right\}$$

其中 $\ell((a, b)) = b - a$ 为区间长度。

外测度性质：

1. $\mu^*(\emptyset) = 0$
2. 单调性：$A \subseteq B \Rightarrow \mu^*(A) \leq \mu^*(B)$
3. 次可加性：$\mu^*\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \leq \sum_{n=1}^\infty \mu^*(A_n)$

2.2 Carathéodory 可测性

集合 $E$ 称为 Carathéodory 可测的（或勒贝格可测的），若对任意 $A \subseteq \mathbb{R}$：

$$\mu^*(A) = \mu^*(A \cap E) + \mu^*(A \cap E^c)$$

定理：所有勒贝格可测集构成 σ-代数 $\mathcal{L}$，外测度限制在 $\mathcal{L}$ 上是完备测度。

2.3 Borel 集与勒贝格集

$$\text{开集} \subseteq \mathcal{B}(\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{L}$$

其中 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 是由开集生成的 σ-代数（Borel σ-代数），包含关系严格。

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3. Cantor 集与测度零集

3.1 Cantor 集的构造

从 $[0, 1]$ 开始，迭代地删除每个区间的中间 $\frac{1}{3}$：

$$C_0 = [0, 1]$$

$$C_1 = \left[0, \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3}, 1\right]$$

$$C_2 = \left[0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1\right]$$

Cantor 集：$C = \bigcap_{n=0}^\infty C_n$

3.2 Cantor 集的性质

1. 闭集：$C$ 是闭集
2. 无处稠密：$C$ 不包含任何开区间
3. 不可数：$C$ 与 $[0, 1]$ 等势（可用三进制表示证明）
4. 测度为零：

$$\mu(C) = \lim_{n \to \infty} \mu(C_n) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$$

Cantor 集展示了"不可数但测度为零"的奇特现象。

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4. 勒贝格积分

4.1 简单函数

设 $(X, \mathcal{F}, \mu)$ 为测度空间，简单函数是形如

$$s(x) = \sum_{i=1}^n a_i \chi_{A_i}(x)$$

的函数，其中 $a_i \geq 0$，$A_i \in \mathcal{F}$，$\chi_{A_i}$ 是特征函数。

简单函数的积分：

$$\int_X s \, d\mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i)$$

4.2 一般非负函数的积分

对于可测函数 $f: X \to [0, \infty]$：

$$\int_X f \, d\mu = \sup \left\{ \int_X s \, d\mu : 0 \leq s \leq f, \, s \text{ 为简单函数} \right\}$$

4.3 重要收敛定理

单调收敛定理 (MCT)

若 $0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \cdots$ 且 $f_n \to f$ 点点收敛，则

$$\lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu$$

控制收敛定理 (DCT)

若 $f_n \to f$ 点点收敛，且存在可积函数 $g$ 使得 $|f_n| \leq g$，则

$$\lim_{n \to \infty} \int_X f_n \, d\mu = \int_X f \, d\mu$$

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5. L^p 空间的完备性

5.1 定义

$$L^p(\Omega) = \left\{ f : \Omega \to \mathbb{R} \,\middle|\, \|f\|_p = \left(\int_\Omega |f|^p \, d\mu\right)^{1/p} < \infty \right\}$$

5.2 Riesz-Fischer 定理

定理：对于 $1 \leq p \leq \infty$，$L^p(\Omega)$ 是 Banach 空间。

证明思路（$1 \leq p < \infty$）：

1. 取 Cauchy 列 $\{f_n\}$
2. 构造快速收敛子列
3. 证明点点收敛到某 $f$
4. 利用 Fatou 引理证明 $f \in L^p$
5. 证明 $\|f_n - f\|_p \to 0$

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6. 应用

勒贝格测度和积分在多个领域有核心应用：

领域	应用
概率论	Kolmogorov 公理化基础
偏微分方程	Sobolev 空间理论
泛函分析	$L^p$ 空间、算子理论
调和分析	Fourier 变换、Plancherel 定理

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参考文献

1. Rudin, W. Real and Complex Analysis
2. Folland, G.B. Real Analysis: Modern Techniques and Applications
3. Stein, E.M. & Shakarchi, R. Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces