Littlewood 三性原理与实分析中的逼近定理

在实分析和测度论中,Littlewood 三性原理(Littlewood’s Three Principles)是理解可测集和可测函数行为的重要指导思想。本文将详细阐述这三条原理,并给出 Egoroff 定理和 Lusin 定理的完整证明。

1. Littlewood 三性原理

英国数学家 John Edensor Littlewood(1885-1977)曾精辟地总结了实分析中可测集和可测函数的三条基本性质:

Littlewood 三性原理

第一性原理(可测集的正则性): 每一个可测集"几乎"是有限个开区间的并集。

第二性原理(可测函数的连续性): 每一个可测函数"几乎"是连续函数。

第三性原理(收敛的一致性): 每一个几乎处处收敛的函数列"几乎"是一致收敛的。

这里的"几乎"需要精确化,它通过以下三个著名定理来实现:

性原理 精确表述
第一性原理 可测集的正则性定理
第二性原理 Lusin 定理
第三性原理 Egoroff 定理

2. 预备知识

2.1 基本记号

设 (X,M,μ)(X, \mathcal{M}, \mu) 是一个测度空间。特别地,当 X=RnX = \mathbb{R}^n,μ\mu 为 Lebesgue 测度时,记为 mm。

  • E⊂RnE \subset \mathbb{R}^n 可测: E∈ME \in \mathcal{M}
  • m(E)m(E): 集合 EE 的 Lebesgue 测度
  • f:E→Rf: E \to \mathbb{R} 可测: f−1(O)f^{-1}(O) 对任意开集 OO 可测

2.2 几乎处处收敛

定义 (几乎处处收敛)

设 {fn}\{f_n\} 是 EE 上的可测函数列,ff 是 EE 上的可测函数。称 fnf_n 几乎处处收敛到 ff,记作 fn→ff_n \to f a.e.,若存在零测集 N⊂EN \subset E,使得对所有 x∈E∖Nx \in E \setminus N,有 lim⁡n→∞fn(x)=f(x)\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)。

3. Egoroff 定理

3.1 定理陈述

定理 3.1 (Egoroff, 1911)

设 E⊂RnE \subset \mathbb{R}^n 是测度有限的可测集(m(E)<∞m(E) < \infty),{fn}\{f_n\} 是 EE 上的可测函数列,且 fn→ff_n \to f a.e. 于 EE。则对任意 ε>0\varepsilon > 0,存在闭集 F⊂EF \subset E,使得:

  1. m(E∖F)<εm(E \setminus F) < \varepsilon
  2. fn⇉ff_n \rightrightarrows f 在 FF 上一致收敛

注记: 条件 m(E)<∞m(E) < \infty 是必要的。反例:在 R\mathbb{R} 上取 fn(x)=χ[n,∞)(x)f_n(x) = \chi_{[n, \infty)}(x),则 fn→0f_n \to 0 处处成立,但在任何正测度集上都不一致收敛。

3.2 证明

Step 1: 构造递减集列

不妨设 fn→ff_n \to f 处处成立于 EE(否则去掉一个零测集)。

对每个正整数 kk 和 nn,定义:

En(k)=⋃j=n∞{x∈E:∣fj(x)−f(x)∣≥1k}E_n^{(k)} = \bigcup_{j=n}^{\infty} \left\{ x \in E : |f_j(x) - f(x)| \geq \frac{1}{k} \right\}

由于 fn,ff_n, f 可测,集合 {x:∣fj(x)−f(x)∣≥1/k}\{x : |f_j(x) - f(x)| \geq 1/k\} 可测,从而 En(k)E_n^{(k)} 可测。

Step 2: 分析集列的性质

对固定的 kk:

  • E1(k)⊃E2(k)⊃E3(k)⊃⋯E_1^{(k)} \supset E_2^{(k)} \supset E_3^{(k)} \supset \cdots (递减)
  • 由于 fn→ff_n \to f 处处,对任意 x∈Ex \in E,存在 NN 使得当 n≥Nn \geq N 时 ∣fn(x)−f(x)∣<1/k|f_n(x) - f(x)| < 1/k

因此:

⋂n=1∞En(k)=∅\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n^{(k)} = \emptyset

Step 3: 应用测度的连续性

由于 m(E)<∞m(E) < \infty 且 En(k)↘∅E_n^{(k)} \searrow \emptyset,由测度的上连续性:

lim⁡n→∞m(En(k))=m(⋂n=1∞En(k))=0\lim_{n \to \infty} m(E_n^{(k)}) = m\left(\bigcap_{n=1}^{\infty} E_n^{(k)}\right) = 0

因此,对给定的 ε>0\varepsilon > 0 和每个 kk,存在 nkn_k 使得:

m(Enk(k))<ε2km(E_{n_k}^{(k)}) < \frac{\varepsilon}{2^k}

Step 4: 构造一致收敛的集合

令:

A=⋃k=1∞Enk(k)A = \bigcup_{k=1}^{\infty} E_{n_k}^{(k)}

则:

m(A)≤∑k=1∞m(Enk(k))<∑k=1∞ε2k=εm(A) \leq \sum_{k=1}^{\infty} m(E_{n_k}^{(k)}) < \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilon

Step 5: 验证一致收敛

令 F0=E∖AF_0 = E \setminus A。对任意 δ>0\delta > 0,取 kk 使得 1/k<δ1/k < \delta。

若 x∈F0x \in F_0,则 x∉Enk(k)x \notin E_{n_k}^{(k)},即对所有 j≥nkj \geq n_k:

∣fj(x)−f(x)∣<1k<δ|f_j(x) - f(x)| < \frac{1}{k} < \delta

这说明 fn⇉ff_n \rightrightarrows f 在 F0F_0 上一致收敛。

Step 6: 闭集的逼近

由可测集的正则性,存在闭集 F⊂F0F \subset F_0 使得 m(F0∖F)<εm(F_0 \setminus F) < \varepsilon。则:

m(E∖F)=m(A)+m(F0∖F)<2εm(E \setminus F) = m(A) + m(F_0 \setminus F) < 2\varepsilon

将 ε\varepsilon 替换为 ε/2\varepsilon/2 即得结论。□\square

4. Lusin 定理

4.1 定理陈述

定理 4.1 (Lusin, 1912)

设 E⊂RnE \subset \mathbb{R}^n 是可测集,m(E)<∞m(E) < \infty,f:E→Rf: E \to \mathbb{R} 是可测函数且几乎处处有限。则对任意 ε>0\varepsilon > 0,存在闭集 F⊂EF \subset E 使得:

  1. m(E∖F)<εm(E \setminus F) < \varepsilon
  2. f∣Ff|_F 是连续函数(即 ff 在 FF 上的限制连续)

注记: Lusin 定理可以加强为:存在 Rn\mathbb{R}^n 上的连续函数 gg 使得 g∣F=f∣Fg|_F = f|_F,且 sup⁡∣g∣≤sup⁡∣f∣\sup|g| \leq \sup|f|(Tietze 延拓定理)。

4.2 证明

Step 1: 简单函数的逼近

由可测函数的简单函数逼近定理,存在简单函数列 {φn}\{\varphi_n\} 使得:

φn→fa.e. 于 E\varphi_n \to f \quad \text{a.e. 于 } E

Step 2: 应用 Egoroff 定理

由 Egoroff 定理,存在闭集 F1⊂EF_1 \subset E 使得:

  • m(E∖F1)<ε/2m(E \setminus F_1) < \varepsilon/2
  • φn⇉f\varphi_n \rightrightarrows f 在 F1F_1 上一致收敛

Step 3: 简单函数在闭子集上的连续性

设简单函数 φn=∑i=1knai(n)χAi(n)\varphi_n = \sum_{i=1}^{k_n} a_i^{(n)} \chi_{A_i^{(n)}},其中 {Ai(n)}\{A_i^{(n)}\} 是 EE 的可测分割。

对每个 nn 和 ii,由可测集的正则性,存在闭集 Bi(n)⊂Ai(n)∩F1B_i^{(n)} \subset A_i^{(n)} \cap F_1 使得:

m((Ai(n)∩F1)∖Bi(n))<ε2n+1knm\left((A_i^{(n)} \cap F_1) \setminus B_i^{(n)}\right) < \frac{\varepsilon}{2^{n+1} k_n}

令:

Fn=⋃i=1knBi(n)F_n = \bigcup_{i=1}^{k_n} B_i^{(n)}

则 FnF_n 是 F1F_1 中的闭集,且:

m(F1∖Fn)<ε2n+1m(F_1 \setminus F_n) < \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}

关键观察: φn∣Fn\varphi_n|_{F_n} 在 FnF_n 上连续!

因为 FnF_n 是互不相交闭集的有限并,φn\varphi_n 在每个 Bi(n)B_i^{(n)} 上取常数值。

Step 4: 取交集

令:

F=⋂n=1∞FnF = \bigcap_{n=1}^{\infty} F_n

则 FF 是闭集,且:

m(F1∖F)≤∑n=1∞m(F1∖Fn)<∑n=1∞ε2n+1=ε2m(F_1 \setminus F) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m(F_1 \setminus F_n) < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} = \frac{\varepsilon}{2}

因此:

m(E∖F)=m(E∖F1)+m(F1∖F)<ε2+ε2=εm(E \setminus F) = m(E \setminus F_1) + m(F_1 \setminus F) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

Step 5: 验证 f∣Ff|_F 的连续性

在 FF 上:

  • 每个 φn∣F\varphi_n|_F 连续(因为 F⊂FnF \subset F_n)
  • φn⇉f\varphi_n \rightrightarrows f 一致收敛(因为 F⊂F1F \subset F_1)

由一致收敛保持连续性,f∣Ff|_F 在 FF 上连续。□\square

5. 三性原理的统一视角

Littlewood 三性原理揭示了测度论中"可测"对象与"良好"对象之间的深刻联系:

对象 "坏"的性质 "近似良好"的性质
可测集 可能非常复杂 可用开集/闭集逼近
可测函数 可能处处不连续 在大部分地方连续 (Lusin)
a.e. 收敛 不保证一致性 在大部分地方一致 (Egoroff)

5.1 应用示例

应用 1: Riemann-Lebesgue 引理的证明

应用 2: LpL^p 空间中连续函数的稠密性

应用 3: Fourier 级数收敛性的研究

6. 小结

定理 条件 结论
Egoroff m(E)<∞m(E) < \infty, fn→ff_n \to f a.e. 存在闭集 FF 使 m(E∖F)<εm(E \setminus F) < \varepsilon, fn⇉ff_n \rightrightarrows f 在 FF 上一致
Lusin m(E)<∞m(E) < \infty, ff 可测有限 存在闭集 FF 使 m(E∖F)<εm(E \setminus F) < \varepsilon, ff 在 FF 上连续

历史注记

  • Dmitri Egoroff (1869-1931): 俄国数学家,1911年发表了关于收敛函数列的著名定理。
  • Nikolai Lusin (1883-1950): 俄国数学家,Egoroff 的学生,Moscow 学派的创始人之一。
  • John Littlewood (1885-1977): 英国数学家,与 Hardy 长期合作,对分析学有深远影响。

参考文献

  1. Royden, H. L., & Fitzpatrick, P. M. (2010). Real Analysis. Pearson.
  2. Folland, G. B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Wiley.
  3. Rudin, W. (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill.