物理信息神经网络 (PINNs) 简介

物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）是将物理约束嵌入深度学习的创新方法。

核心思想

PINNs 通过在损失函数中加入物理方程的残差项，实现数据驱动与物理约束的融合。

对于偏微分方程（PDE）问题，我们考虑如下一般形式：

$$\mathcal{N}[u(x,t)] = f(x,t), \quad x \in \Omega, \, t \in [0, T]$$

其中 $\mathcal{N}$ 是微分算子，$u$ 是待求解函数，$\Omega$ 是计算域。

损失函数设计

PINNs 的总损失函数由三部分组成：

$$\mathcal{L} = \underbrace{\mathcal{L}_{\text{data}}}_{\text{数据拟合}} + \underbrace{\mathcal{L}_{\text{PDE}}}_{\text{物理约束}} + \underbrace{\mathcal{L}_{\text{BC/IC}}}_{\text{边界/初始条件}}$$

其中，物理约束损失（Residual Loss）定义为：

$$\mathcal{L}_{\text{PDE}} = \frac{1}{N_r} \sum_{i=1}^{N_r} |\mathcal{N}[u_\theta(x_i, t_i)] - f(x_i, t_i)|^2$$

实现示例

import torch
import torch.nn as nn

class PINN(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(PINN, self).__init__()
        # 网络结构定义
        ...