点集拓扑基础：拓扑空间入门

拓扑学是研究空间连续性质的数学分支。本文将系统介绍拓扑空间的基本概念和重要性质。

1. 拓扑空间定义

1.1 拓扑的公理化定义

设 XX 为非空集合，τ⊆P(X)\tau \subseteq \mathcal{P}(X) 为 XX 的子集族，若满足：

  1. 包含全集和空集：∅,X∈τ\emptyset, X \in \tau
  2. 任意并封闭：若 {Uα}α∈I⊆τ\{U_\alpha\}_{\alpha \in I} \subseteq \tau，则 ⋃α∈IUα∈τ\bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha \in \tau
  3. 有限交封闭：若 U1,U2,…,Un∈τU_1, U_2, \ldots, U_n \in \tau，则 ⋂i=1nUi∈τ\bigcap_{i=1}^n U_i \in \tau

则称 τ\tau 为 XX 上的一个拓扑，称 (X,τ)(X, \tau) 为拓扑空间。τ\tau 中的元素称为开集。

1.2 常见拓扑

拓扑类型 定义 特点
离散拓扑 τ=P(X)\tau = \mathcal{P}(X) 所有子集都是开集
平凡拓扑 τ={∅,X}\tau = \{\emptyset, X\} 只有空集和全集是开集
度量拓扑 由度量诱导的开球生成 Rn\mathbb{R}^n 上的标准拓扑
余有限拓扑 U∈τ⇔X∖UU \in \tau \Leftrightarrow X \setminus U 有限或 U=∅U = \emptyset 用于证明反例

2. 连续映射

2.1 拓扑意义下的连续性

设 (X,τX)(X, \tau_X) 和 (Y,τY)(Y, \tau_Y) 为拓扑空间，映射 f:X→Yf: X \to Y 称为连续的，若对任意开集 V∈τYV \in \tau_Y：

f−1(V)∈τXf^{-1}(V) \in \tau_X

即开集的原像仍为开集。

2.2 等价刻画

以下条件等价：

  1. ff 连续
  2. 对任意闭集 C⊆YC \subseteq Y，f−1(C)f^{-1}(C) 为 XX 中的闭集
  3. 对任意 A⊆XA \subseteq X，f(A‾)⊆f(A)‾f(\overline{A}) \subseteq \overline{f(A)}
  4. 对任意 x∈Xx \in X 和 f(x)f(x) 的任意邻域 VV，存在 xx 的邻域 UU 使得 f(U)⊆Vf(U) \subseteq V

2.3 同胚

若 f:X→Yf: X \to Y 是双射，且 ff 和 f−1f^{-1} 都连续，则称 ff 为同胚，记 X≅YX \cong Y。同胚的空间具有相同的拓扑性质。

3. 分离性公理

3.1 Hausdorff 空间 (T₂ 空间)

拓扑空间 (X,τ)(X, \tau) 称为 Hausdorff 空间（或 T2T_2 空间），若对任意不同的两点 x,y∈Xx, y \in X，存在不相交的开集 U,VU, V 使得：

x∈U,y∈V,U∩V=∅x \in U, \quad y \in V, \quad U \cap V = \emptyset

性质：Hausdorff 空间中的极限唯一。

3.2 分离公理层次

T0⊆T1⊆T2⊆T3⊆T4T_0 \subseteq T_1 \subseteq T_2 \subseteq T_3 \subseteq T_4

公理 条件
T0T_0 (Kolmogorov) 任意两点可被拓扑区分
T1T_1 (Fréchet) 单点集是闭集
T2T_2 (Hausdorff) 任意两点可用不相交开集分离
T3T_3 (正则) T1T_1 + 点与闭集可分离
T4T_4 (正规) T1T_1 + 任意两个不相交闭集可分离

4. 紧致性

4.1 定义

设 (X,τ)(X, \tau) 为拓扑空间，若 XX 的任意开覆盖都存在有限子覆盖，则称 XX 是紧致的。

形式化：对任意 {Uα}α∈I⊆τ\{U_\alpha\}_{\alpha \in I} \subseteq \tau 满足 X=⋃α∈IUαX = \bigcup_{\alpha \in I} U_\alpha，存在有限子集 J⊆IJ \subseteq I 使得 X=⋃α∈JUαX = \bigcup_{\alpha \in J} U_\alpha。

4.2 重要性质

  1. Heine-Borel 定理：Rn\mathbb{R}^n 中的集合紧致 ⇔\Leftrightarrow 有界且闭
  2. 闭子集性质：紧致空间的闭子集是紧致的
  3. 连续像：紧致集在连续映射下的像是紧致的
  4. 乘积紧致性：紧致空间的有限乘积是紧致的 (Tychonoff 定理推广至任意乘积)

5. 连通性

5.1 定义

设 (X,τ)(X, \tau) 为拓扑空间：

  • 若 XX 不能表示为两个非空不相交开集的并，则称 XX 是连通的
  • 若 XX 中任意两点都可用连续曲线连接，则称 XX 是道路连通的

5.2 关系

道路连通⇒连通\text{道路连通} \Rightarrow \text{连通}

反之不一定成立（如拓扑学家正弦曲线）。

5.3 连通分支

XX 的连通分支是 XX 中包含某点的最大连通子集。连通分支将 XX 分割成互不相交的连通片。

6. 总结

拓扑学为现代数学提供了统一的语言：

  • 分析学：度量空间、Banach 空间
  • 代数拓扑：同伦、同调理论
  • 微分几何：流形理论

拓扑不变量（如连通性、紧致性）揭示了空间的本质结构。

参考文献

  1. Munkres, J.R. Topology
  2. Willard, S. General Topology
  3. Kelley, J.L. General Topology