引言

集合论是现代数学的基础。几乎所有的数学对象都可以用集合来定义：数、函数、空间、结构等。ZFC（Zermelo-Fraenkel with Choice）公理系统是目前最广泛接受的集合论公理化体系。

1. ZFC 公理系统

ZFC 包含以下公理：

1.1 外延公理 (Axiom of Extensionality)

∀A ∀B [∀x(x∈A↔x∈B)→A=B]\forall A \, \forall B \, [\forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B) \rightarrow A = B]

两个集合相等当且仅当它们有相同的元素。这个公理确定了集合的"身份"完全由其元素决定。

1.2 空集公理 (Axiom of Empty Set)

∃∅ ∀x (x∉∅)\exists \emptyset \, \forall x \, (x \notin \emptyset)

存在一个不包含任何元素的集合，称为空集 ∅\emptyset。

1.3 配对公理 (Axiom of Pairing)

∀a ∀b ∃C ∀x (x∈C↔x=a∨x=b)\forall a \, \forall b \, \exists C \, \forall x \, (x \in C \leftrightarrow x = a \lor x = b)

对于任意两个集合 aa 和 bb，存在一个集合 {a,b}\{a, b\} 恰好包含它们。

1.4 并集公理 (Axiom of Union)

∀A ∃B ∀x (x∈B↔∃C(C∈A∧x∈C))\forall A \, \exists B \, \forall x \, (x \in B \leftrightarrow \exists C (C \in A \land x \in C))

对于任意集合 AA，存在其并集 ⋃A={x:∃C∈A,x∈C}\bigcup A = \{x : \exists C \in A, x \in C\}。

1.5 幂集公理 (Axiom of Power Set)

∀A ∃P ∀B (B∈P↔B⊆A)\forall A \, \exists P \, \forall B \, (B \in P \leftrightarrow B \subseteq A)

对于任意集合 AA，存在其幂集 P(A)={B:B⊆A}\mathcal{P}(A) = \{B : B \subseteq A\}。

1.6 无穷公理 (Axiom of Infinity)

∃I [∅∈I∧∀x(x∈I→x∪{x}∈I)]\exists I \, [\emptyset \in I \land \forall x (x \in I \rightarrow x \cup \{x\} \in I)]

存在一个归纳集，即包含 ∅\emptyset 且对后继运算封闭的集合。这保证了自然数集的存在。

1.7 分离公理模式 (Axiom Schema of Separation)

∀A ∃B ∀x (x∈B↔x∈A∧φ(x))\forall A \, \exists B \, \forall x \, (x \in B \leftrightarrow x \in A \land \varphi(x))

对于任意集合 AA 和性质 φ\varphi，存在子集 {x∈A:φ(x)}\{x \in A : \varphi(x)\}。

1.8 替换公理模式 (Axiom Schema of Replacement)

∀A [∀x∈A ∃!y φ(x,y)→∃B ∀y (y∈B↔∃x∈A φ(x,y))]\forall A \, [\forall x \in A \, \exists ! y \, \varphi(x, y) \rightarrow \exists B \, \forall y \, (y \in B \leftrightarrow \exists x \in A \, \varphi(x, y))]

函数的像是集合。

1.9 正则公理 (Axiom of Regularity/Foundation)

∀A [A≠∅→∃x∈A (x∩A=∅)]\forall A \, [A \neq \emptyset \rightarrow \exists x \in A \, (x \cap A = \emptyset)]

每个非空集合都有一个 ∈\in-极小元素。这排除了无穷下降链和 A∈AA \in A 的情况。

1.10 选择公理 (Axiom of Choice, AC)

∀A [∅∉A→∃f:A→⋃A ∀B∈A (f(B)∈B)]\forall A \, [\emptyset \notin A \rightarrow \exists f : A \to \bigcup A \, \forall B \in A \, (f(B) \in B)]

对于任意非空集合族，存在选择函数。

2. 序数理论

2.1 序数的定义

定义：一个集合 α\alpha 是序数（ordinal），如果：

  1. α\alpha 是传递的：x∈α⇒x⊆αx \in \alpha \Rightarrow x \subseteq \alpha
  2. α\alpha 被 ∈\in 良序

2.2 冯·诺依曼序数

冯·诺依曼构造：

  • 0=∅0 = \emptyset
  • 1={0}={∅}1 = \{0\} = \{\emptyset\}
  • 2={0,1}={∅,{∅}}2 = \{0, 1\} = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}
  • n+1=n∪{n}n + 1 = n \cup \{n\}
  • ω={0,1,2,3,…}\omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}（第一个无穷序数）

2.3 序数运算

后继：α+1=α∪{α}\alpha + 1 = \alpha \cup \{\alpha\}

极限序数：不是后继序数的序数，如 ω,ω⋅2,ω2,…\omega, \omega \cdot 2, \omega^2, \ldots

序数加法：

α+β=type(α⊔β,<∗)\alpha + \beta = \text{type}(\alpha \sqcup \beta, <^*)

其中 <∗<^* 先按 α\alpha 再按 β\beta 排列。

注意：序数加法不可交换，如 1+ω=ω≠ω+11 + \omega = \omega \neq \omega + 1。

序数乘法：

α⋅β=type(β×α,<lex)\alpha \cdot \beta = \text{type}(\beta \times \alpha, <_{\text{lex}})

序数指数：

α0=1,αβ+1=αβ⋅α,αλ=sup⁡β<λαβ\alpha^0 = 1, \quad \alpha^{\beta+1} = \alpha^\beta \cdot \alpha, \quad \alpha^\lambda = \sup_{\beta < \lambda} \alpha^\beta

3. 基数理论

3.1 基数的定义

两个集合等势（equinumerous）如果存在双射：∣A∣=∣B∣⇔A≈B|A| = |B| \Leftrightarrow A \approx B。

基数是等势类的代表。在 ZFC 中，基数定义为：

∣A∣=min⁡{α:α 是序数∧α≈A}|A| = \min\{\alpha : \alpha \text{ 是序数} \land \alpha \approx A\}

3.2 阿列夫数

无穷基数用 ℵ\aleph（aleph）表示：

  • ℵ0=∣N∣\aleph_0 = |\mathbb{N}|（最小无穷基数）
  • ℵ1\aleph_1 = 最小不可数基数
  • ℵα+1\aleph_{\alpha+1} = ℵα\aleph_\alpha 的后继基数
  • ℵλ=sup⁡α<λℵα\aleph_\lambda = \sup_{\alpha < \lambda} \aleph_\alpha（极限情形）

3.3 基数运算

加法：κ+λ=∣{0}×κ∪{1}×λ∣\kappa + \lambda = |\{0\} \times \kappa \cup \{1\} \times \lambda|

乘法：κ⋅λ=∣κ×λ∣\kappa \cdot \lambda = |\kappa \times \lambda|

指数：κλ=∣λκ∣\kappa^\lambda = |{}^\lambda\kappa|（从 λ\lambda 到 κ\kappa 的函数集）

重要结果：

  • 康托尔定理：∣A∣<∣P(A)∣|A| < |\mathcal{P}(A)|
  • 2ℵ0=∣R∣2^{\aleph_0} = |\mathbb{R}|（连续统的基数）

3.4 连续统假设

连续统假设（CH）：2ℵ0=ℵ12^{\aleph_0} = \aleph_1

即不存在基数严格介于 ℵ0\aleph_0 和 2ℵ02^{\aleph_0} 之间。

广义连续统假设（GCH）：对所有序数 α\alpha，2ℵα=ℵα+12^{\aleph_\alpha} = \aleph_{\alpha+1}

哥德尔-科恩定理：CH 独立于 ZFC。

  • 哥德尔（1940）：CH 与 ZFC 相容
  • 科恩（1963）：¬\negCH 与 ZFC 相容

4. 选择公理及其等价形式

4.1 等价命题

以下命题在 ZF 中相互等价：

命题 陈述
选择公理 (AC) 非空集合族有选择函数
佐恩引理 每个归纳偏序集有极大元
良序定理 每个集合可以良序化
图凯引理 有限特征的集合系统有极大元
豪斯多夫极大原理 每个偏序集有极大链

4.2 依赖于 AC 的定理

许多重要定理依赖于选择公理：

  1. 代数：每个向量空间有基
  2. 分析：非零测集存在不可测子集
  3. 拓扑：Tychonoff 定理（紧空间的任意乘积是紧的）
  4. 代数：每个环有极大理想

4.3 不依赖 AC 的选择

某些特殊情况不需要 AC：

  • 有限集族（归纳法）
  • 可数良序集族
  • 有显式选择规则的集合

5. 大基数公理

5.1 不可达基数

基数 κ\kappa 是不可达的（inaccessible），如果：

  1. κ\kappa 是不可数的
  2. κ\kappa 是正则的（共尾数等于自身）
  3. 对所有 λ<κ\lambda < \kappa，有 2λ<κ2^\lambda < \kappa

定理：如果存在不可达基数，则 ZFC + “不存在不可达基数” 是相容的。因此，不可达基数的存在性在 ZFC 中不可证。

5.2 大基数层次

从弱到强：

  1. 不可达基数
  2. Mahlo 基数
  3. 可测基数
  4. 强基数
  5. 超紧基数
  6. huge 基数

大基数提供了一致性证明的工具，并揭示了集合论宇宙的丰富结构。

6. 集合论模型

6.1 哥德尔的构造宇宙

构造宇宙 LL：

  • L0=∅L_0 = \emptyset
  • Lα+1=Def(Lα)L_{\alpha+1} = \text{Def}(L_\alpha)（LαL_\alpha 中可定义的子集）
  • Lλ=⋃α<λLαL_\lambda = \bigcup_{\alpha < \lambda} L_\alpha
  • L=⋃αLαL = \bigcup_\alpha L_\alpha

性质：在 LL 中，GCH 和 AC 都成立。

6.2 力迫法

科恩的力迫法（forcing）是构造 ZFC 模型的强大工具：

  1. 从一个基础模型 MM 开始
  2. 选择偏序集 P∈M\mathbb{P} \in M
  3. 选择"通用"filter G⊆PG \subseteq \mathbb{P}
  4. 构造扩展模型 M[G]M[G]

这个技术可以证明 CH、AC 等命题的独立性。

总结

ZFC 集合论为现代数学提供了坚实的基础：

  1. 公理系统：九条公理加选择公理，足以建立几乎所有数学
  2. 序数：良序集的规范表示，超穷归纳的基础
  3. 基数：集合大小的精确刻画
  4. 选择公理：许多重要定理的必要前提
  5. 独立性结果：CH、AC 等命题独立于 ZFC

集合论不仅是数学的语言，也是数学哲学的核心研究对象。

参考资料

  • Kunen, K. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, 1980
  • Jech, T. Set Theory, 3rd ed., 2003
  • Enderton, H. Elements of Set Theory, 1977
  • Stanford Encyclopedia - Set Theory